Vecteurs de Lyapunov covariants : comment les calculer et ce qu'ils nous apprennent
Hugues CHATÉ
CEA Saclay
Le théorème d'Oseledec est au coeur des études sur le chaos, notamment pour l'existence et la définition des exposants de Lyapunov. Mais les sous-espaces d'Oseledec associés à chaque exposant en chaque point de l'espace des phases étaient restés inaccessibles jusqu'à récemment. Cette situation faisait que, par exemple, il était très difficile de quantifier la non-hyperbolicité des systèmes (qui est reliée à l'importance des tangences de ces directions le long de la trajectoire).
Grâce à un algorithme original et performant, nous sommes désormais capables de calculer ces directions intrinsèques, ces vecteurs de Lyapunov covariants, qui sont à distinguer des vecteurs de la base orthonormée par la procédure de Gram-Schmit utilisés pour le calcul des exposants, lesquels n'ont pratiquement aucune signification physique.
Après une définition des vecteurs covariants et un exposé de l'algorithme permettant de les calculer, je passerai en revue quelques résultats obtenus récemment grâce à eux :
- détermination opératoire de la variété (inertielle ?) sur laquelle évolue la dynamique effective des systèmes dissipatifs à grand nombre de degrés de liberté,
- démonstration que le spectre de Lyapunov contient les modes de la dynamique collective des systèmes dissipatifs globalement couplés,
- mise à jour de notre compréhension des « modes hydrodynamiques de Lyapunov » pour le chaos Hamiltonien.
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CONFÉRENCES
New Challenges in Turbulence Research VII, École de Physique des Houches, 10 Février 2025
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